Када је стандардно одступање једнако нули?

Када је стандардно одступање једнако нули?

Узорак стандардне девијације је описна статистика која мери ширење квантитативног скупа података. Овај број може бити било који негативан реални број. Будући да је нула негативан реални број, чини се да је вриједно питати: „Када ће стандардна девијација узорка бити једнака нули?“ То се догађа у врло посебном и крајње необичном случају када су све наше вриједности података потпуно исте. Истражићемо разлоге зашто.

Опис стандардног одступања

Два важна питања на која обично желимо да одговоримо о скупу података укључују:

  • Који је центар скупа података?
  • Колико се шири скуп података?

Постоје различита мерења, која се називају дескриптивна статистика, а која одговарају на ова питања. На пример, центар података, такође познат као просек, може се описати средњом, средњом или модусом. Остале статистике, које су мање познате, могу се користити као што су мидхинге или тримеан.

За ширење наших података могли бисмо користити опсег, интерквартилни распон или стандардну девијацију. Стандардно одступање је упарено са средином за квантификацију ширења наших података. Затим можемо да користимо овај број за упоређивање више скупова података. Што је наше стандардно одступање веће, то је већи и ширење.

Интуиција

Дакле, размотримо из овог описа шта би значило имати стандардно одступање од нуле. То би указивало да у нашем скупу података уопште нема ширења. Све вредности појединачних података зближиле би се у једној вредности. Пошто би постојала само једна вредност коју би наши подаци могли имати, та вредност би представљала средину нашег узорка.

У овој ситуацији, када су све наше вредности података исте, не би било ничега. Интуитивно има смисла да би стандардна девијација таквог скупа података била једнака нули.

Математички доказ

Стандардно одступање узорка је дефинисано формулом. Дакле, свака тврдња попут оне горе треба бити доказана употребом ове формуле. Започињемо са скупом података који одговара горе наведеном опису: све су вриједности идентичне и постоје н вредности једнаке Икс.

Прорачунали смо средину овог скупа података и видели да јесте

 Икс = (Икс + Икс +… + Икс)/н = нк/н = Икс.

Сада када израчунавамо појединачна одступања од средње вредности, видимо да су сва та одступања једнака нули. Сходно томе, и варијанца и стандардна девијација су једнаки нули.

Неопходно и довољно

Видимо да ако скуп података не показује варијације, тада је његова стандардна девијација једнака нули. Можемо питати да ли је и супротност ове изјаве тачна. Да видимо да ли је, поново ћемо користити формулу за стандардно одступање. Овај пут ћемо, међутим, поставити стандардну девијацију једнаку нули. Нећемо давати никакве претпоставке о нашем скупу података, али видећемо која подешавања с = 0 подразумева

Претпоставимо да је стандардна девијација скупа података једнака нули. То би подразумевало варијансу узорка с2 такође је једнака нули. Резултат је једначина:

0 = (1/(н - 1)) ∑ (Иксја - Икс )2

Помножимо обе стране једначине са н - 1 и видети да је збир квадратних девијација једнак нули. Пошто радимо са реалним бројевима, једини начин да се то догоди је да свако одступање квадрата буде једнак нули. То значи да за свакога ја, термин (Иксја - Икс )2 = 0.

Сада узимамо квадратни корен горње једнаџбе и видимо да свако одступање од средње вредности мора бити једнако нули. Јер за све ја,

Иксја - Икс = 0

То значи да је свака вредност података једнака средњој. Овај резултат заједно са горњим омогућава да кажемо да је стандардно одступање узорка скупа података нула ако и само ако су све његове вредности идентичне.